2023年四色定理的简单证明思维导图(五篇)

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四色定理的简单证明思维导图篇一

机器或计算机自动证明数学定理的研究工作是人工智能重要的研究领域。

1957年，人工智能的先驱者之一simon曾预言，计算机将在十年之内证明具有重要意义的数学定理。十年过去了，simon的预言未能实现。然而，机器或计算机自动证明数学定理研究工作并未就此停止前进的步伐。

许多具有重要意义的数学定理来自于数学猜想，四色定理定理就是其中之一。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯在一家科研单位负责地图着色的工作。弗南西斯发现了一种有趣的现象：“似乎，每一幅地图都可以用四种颜色进行着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”这个现象能不能从数学上加以证明呢？弗南西斯和他在大学读书的弟弟决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆成了山，可是研究工作没有进展。于是，弗南西斯的弟弟就这一问题请教自己的老师，著名数学家摩尔根。摩尔根找不到解决这一问题的途径，于是又写信，向自己的好友，著名数学家密尔顿请教。密尔顿也未能找到解决这一问题的途径。

1872年，著名数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想便成了世界数学界关注的问题。

一开始，四色问题并为引起人们足够的重视。数学家们低估了它的难度。德国数论专家闵可夫斯基上拓扑课时说，四色问题之所以一直没有获得解决，那仅仅是由于没有第一流的数学家来解决它。他拿起粉笔，竟要当场给学生进行推导，结果没有成功。下一节课闵可夫斯基继续尝试，还是没有成功。几个星期过去了，闵可夫斯基仍无进展。有一天，闵可夫斯基刚跨进教室，雷声大作。他马上对学生说：“天责我自大，我也无法解决四色问题。” 一百多年来，四色猜想困扰着数学家们，没有人能证明它，也没有人能推翻它。无数的数学家投身于四色猜想的证明。许多人声称自己证明了四色猜想。然而，最后都被证明是错误的。

1890年，赫伍德证明了五色定理。然而，四色猜想仍然只能是四色猜想。

四色猜想问题刺激了大量的数学研究，促进了图论和拓扑学等相关学科的发展，并获得了许多的应用。

1976年9月，《美国数学会通报》(v.82 n.3)宣布四色定理被证明。

四色问题是怎么解决的呢？

1976 年 7 月，美国的 appel 等人用三台大型计算机，耗时 1200 cpu 时间，进行了100亿逻辑判断，证明了四色定理。

四色猜想成为四色定理。当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以庆祝这一难题获得解决。

四色定理被计算机证明了。然而，问题是，计算机证明四色定理实用了人工智能技术吗？回答可能是否定的。四色定理的计算机证明程序是纯粹的基于四色具体问题的问题求解步骤，而非人类通用的逻辑思维或逻辑推理，不能应用于其它哪怕是极为简单的数学定理的证明。

一个智能的数学定理的自动证明机器，应该不仅能证明四色定理，还应该能证明哥德巴赫猜想、费马定理、庞加莱猜想，等等

四色定理的简单证明思维导图篇二

四色定理的简单证明

虽然现在已经有不少人用不同方法证明出了四色定理，但我认为四色定理的证明还是有点复杂,所以给出以下证明。（注：图形与图形的位置关系可分为相离、包含、内向接、内向切、外向接、外向切，在此文中由于题意关系不妨重新分为以下关系：1 把包含、内向接、内向切，统一划分为包含关系。2 把外向接单独划分为相接关系。3把相离、外相切统一划分为相离关系。）

此证明过程中把图的组合形式按照其位置关系而抽离出了以下四种基本有效模式：若要存在只需用一种颜色便能彼此区分开来的地图，则该图中所有图形必定满足彼此相离。如下图：

图（1）

分析：这是最简单的一种图形关系模式暂且称为模式a。若要存在只需用两种颜色便能彼此区分开来的地图，则该图中的所有图形必定满足最多只存在两个图形的两两相交的图形。各种有效图形关系如下图：

图（2）

分析：两个图形的两两相交的所有图形关系均可变形而得出等价的以上两种图形关系模式之

一。由于图（1）存在包含关系，被包含的图形是对外部无影响的，所以图（1）仍属于模式a。所以两个图形的两两相交只有图（2）的相交关系模式的图形有效的，我们暂且称之为模式b。若要存在只需用三种颜色便能彼此区分开来的地图，则给图中所有图形必定满足最多只存在三个图形的两两相交图形。各种有效图形关系如下图：

图（3）

分析：三个图形的两两相交的所有图形关系均可变形而得出等价的以上两种图形关系模式之

一。由于图（2）属于存在包含关系，同理整体回归于模式a。所以三个图形的两两相交只有图（1）的相接关系模式的图形是有效图形模式，我们暂且称之为模式c。若要存在只需用四种颜色便能彼此区分开来的地图，则给图中所有图形必定满足最多只存在四个图形的两两相交图形。各种有效图形关系如下图：

图（4）

分析：四个图形的两两相交的所有图形关系均可变形而得出等价的以上两种图形关系。由于图（2）属于存在包含关系，同理可得出整体也就回归于图形模式a。同样我们暂且称图（1）的图形关系模式为模式d。观察易得，已经拥有四个有效图形的模式d有一个图形是被包围的，所以在此基础上在球面或是平面上是不可能诞生有五个图形两两相交而组成的模式e了，由于以上的四种基本的有效模式均可由四种以内的颜色彼此分开。所以在平面或球面上四种颜色已足以把它们彼此区分。另外至于在环形体或丁形体上，则可用此方法得出五色定理和六色定理。

四色定理的简单证明思维导图篇三

四色定理

四色定理指出每个可以画出来的无飞地地图都可以至多用4种颜色来上色，而且没有两个相接的区域会是相同的颜色。被称为相接的两个区域是指他们共有一段边界，而不是 一个点。

这一定理最初是由francis guthrie在1853年提出的猜想。很明 显，3种颜色不会满足条件，而且也不难证明5种颜色满足条件且绰绰有余。但是，直到1977年四色猜想才最终由kenneth appel 和wolfgang haken证明。在算法工作上的支持。

证明方法将地图上的无限种可能情况减少为1,936种状态（稍后减少为1,476种），这些状态由计算机一个挨一个的进行检查。这一工作由不同的程 序和计算机独立的进行了复检。在1996年，neil robertson、daniel sanders、paul seymour和robin thomas使用了一种类似的证明方法，检查了633种特殊的 情况。这一新证明也使用了计算机，如果由人工来检查的话是不切实际的。

四色定理是第一个主要由计算机证明的理论，这一证明并不被所有的数学家接受，因为它不能由人工直接验证。最终，人们必须对计算机编译的正确性以及运 行这一程序的硬件设备充分信任。参见实验数学。

缺乏数学应有的规范成为了另一个方面；以至于有人这样评论“一个好的数学证明应当像一首诗——而这纯粹是一本电话簿！”

虽然四色定理证明了任何地图可以只用四个颜色著色，但是这个结论对于现实上的应用却相当有限。现实中的地图常会出现飞地，即两个不连通的区域属于同一个国家的情况（例如美国的阿拉斯加州），而制作地图时我们仍会要求这两个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下，四个颜色将会是不够用的。

四色定理的简单证明思维导图篇四

1．直角三角形中：sina=，sinb=，sinc=1

即c=

∴abc，c=，c=．sinasinbsincacbcabc== sinasinbsinc

2．斜三角形中

证明一：（等积法）在任意斜△abc当中

s△abc=absincacsinbbcsina

两边同除以abc即得：

证明二：（外接圆法）

如图所示，∠ａ＝∠ｄ ∴aacd2r sinasind

bc=2r，＝2r sinbsinc12121212abc== sinasinbsinc

同理

证明三：（向量法）

过a作单位向量j垂直于ac

由 ac+cb=ab

两边同乘以单位向量j 得 j•(ac+cb)=j•ab 则•+•=•

∴|j|•|ac|cos90+|j|•|cb|cos(90c)=| j|•|ab|cos(90a)

∴asinccsina∴ac= sinasinc

cbabc同理，若过c作j垂直于cb得： =∴== sincsinbsinasinbsinc

正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：

1．两角和任意一边，求其它两边和一角；

2已知a, b和a, 用正弦定理求b时的各种情况

:

⑴若a为锐角时: absina无解absina一解(直角)

bsinaab二解(一锐, 一钝)ab一解(锐角)

已知边a,b和a

a

无解a=ch=bsina仅有一个解

ch=bsina

ab无解⑵若a为直角或钝角时: ab一解(锐角)

四色定理的简单证明思维导图篇五

正弦定理

1.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，且等于其外接圆半径的两倍，即

abc2r sinasinbsinc

证明：如图所示，过b点作圆的直径bd交圆于d点，连结ad bd=2r, 则 d=c，dab90 在rtabd中 a sincsindc 2rd

b c c2r sincab同理：2r,2r

sinasinbabc所以2r

sinasinbsinc2.变式结论

1）a2rsina,b2rsinb,c2rsinc 2）sinac

a

b abc ,sinb,sinc2r2r2r3）asinbbsina,asinccsina,csinbbsinc 4）a:b:csina:sinb:sinc

例题

在abc中，角a,b,c所对的边分别是a,b,c，若(3bc)cosaacosc，求cosa的值.解：由正弦定理 a2rsina,b2rsinb,c2rsinc得

(3sinbsinc)cosasinacosc

3sinbcosasin(ac)sin(ac)sinb3sinbcosasinbb(0,)0sinb1cosa33